Родился 27 июня 1920 года в городе Луганске Донецкой губернии УССР. Учился в средней школе №13 и в аэроклубе города Луганска. С 1938 года находился в составе Красной Армии. Окончил 11-ю военную школу пилотов ВВС имени Пролетариата Донбасса (Ворошиловград) в 1939 году.
Участник Великой Отечественной войны с июня 1941 года. 22 октября того же года Молодчему Указом Президиума Верховного Совета СССР присвоено звание Героя Советского Союза.
Указом Президиума Верховного Совета СССР «О награждении Героя Советского Союза гвардии капитана Молодчего Александра Игнатьевича второй медалью «Золотая звезда»» от 31 декабря 1942 года за «образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с германским фашизмом, дающее право на получение звания Героя Советского Союза» награжден второй медалью «Золотая звезда» с постановлением соорудить бронзовый бюст на постаменте и установить его на родине Героя.
За годы войны еще дважды представлялся командованием полка и дивизии к званию Героя Советского Союза, но был награжден орденом Ленина.
Всего за военные годы совершил 311 боевых вылетов (в том числе 287 ночных) с боевым налетом около 600 тысяч километров, в том числе 190 тысяч километров – над территорией врага. Сбросил 200 тонн авиабомб на военные и промышленные объекты противника. Члены его экипажа сбили 5 истребителей противника.
В марте 1965 года генерал-лейтенант авиации Молодчий уволен в запас в возрасте 44 лет. После – жил в Луганске.
9 июня 2002 года скончался в авиационном госпитале города Винница. Похоронен в Чернигове.